Tes Kompetensi Awal
Sebelum mempelajari bab ini, kerjakanlah soal-soal berikut.
1. Isilah titik-titik berikut.
a. cos2a = 1 – ....
b. tan
....
....
.. ..
c. sin(180º – A) = ....
d. cos(90º – A) = ....
e. sin(– a) = .... sin a
f. cos(– ß) = ....cos ß
g. cos(90º – ß) = ....
h. tan(– ß) = ....tan
2. Tentukan jarak antara titik A(1, –2) dan
B(4,2).
Diagram Alur
Untuk mempermudah Anda dalam mempelajari bab ini, pelajarilah diagram alur yang disajikan
sebagai berikut.
Trigonometri
Rumus Jumlah dan Selisih Rumus Sudut Ganda Rumus Konversi
terdiri atas terdiri atas
1. Rumus untuk cos (a ± ß)
2. Rumus untuk sin (a ± ß)
3. Rumus untuk tan (a ± ß)
1. Rumus untuk sin 2 a
2. Rumus untuk cos 2 a.
3. Rumus untuk tan 2 a.
Bentuk Kali
ke Jumlah
Bentuk Jumlah
ke Kali
menentukan
dapat berupa
Trigonometri 77
A. Rumus Trigonometri untuk
Jumlah dan Selisih Dua Sudut
1. Rumus untuk Cos (a ± ß)
Amati gambar Gambar 3.1 dengan saksama.Gambar 3.1
menunjukkan lingkaran yang berpusat di O dan berjari-jari
r. Amati lagi gambar tersebut dengan saksama. Dari gambar
tersebut, diperoleh OC=OB=OD=OA = r dan koordinat titik
A, titik B, titik C, dan titik D, yaitu A(r, 0), B(r cos a, r
sin a), C(r cos(a + ß), r sin(a + ß)), dan D(r cos ß, –r sin ß).
Dengan menggunakan rumus jarak antara dua titik,
diperoleh
dAB d2 2 2 2 ..AB.. ..x x .. A B......y y .. A
B..sehingga Anda dapat menentukan (AC)2 dan (DB)2, yaitu
a. (AC)2 = [r cos (a + ß) – r]2 + [r sin (a + ß) – 0 ]2
= r2 cos2 (a + ß) – 2r2cos (a + ß) + r2 + r2 sin2 (a + ß)
= r2 [cos2 (a + ß) + sin2 (a + ß)] + r2 – 2r2cos (a + ß)
= r2 · 1 + r2 – 2r2 cos (a + ß) = 2r2 – 2r2 cos (a + ß)
Jadi, (AC)2 = 2r2 – 2r2 cos (.. + ß)
b. (DB)2 = (r cos a – r cos ß)2 + (r sin a + r sin ß)2
= r2 cos2 a – 2r2 cos a cos ß + r2 cos2 ß + r2
sin2 a + 2 r2sin a sin ß + r2 sin2 ß
= r2 (cos2 a + sin2 a) + r2 (cos2 ß + sin2 ß ) –
2r2 cos a cos ß + 2r2 sin a sin ß
= r2 + r2 – 2r2 cos a cos ß + 2r2 sin a sin ß
= 2r2 – 2r2 cosa cos ß + 2r2 sina sin ß
Jadi, (DB)2 = 2r2 – 2r2 cos .. cos ß + 2r2 sin....sin ß
.OCA kongruen dengan .OBD sehingga AC = DB.
Coba Anda kemukakan alasan mengapa .OCA kongruen
.OBD.
Jadi, AC2 = DB2.
2r2 – 2r2 cos (a + ß) = 2r2 – 2r2 cos a cos ß + 2r2 sin a sin ß
–2r2 cos (a + ß) = –2r2 cos a cos ß + 2r2 sin a sin ß
cos (a + ß) = cos a cos ß – sin a sin ß
cos (a + ß) = cos a cos ß – sin a sin ß
D
A
B
C
O
r
y
x
ß
–ß
a
Gambar 3.1
78 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
Rumus untuk cos(a – ß) dapat diturunkan dari rumus
cos (a + ß), yaitu
cos(a – ß)= cos (a + (–ß))
= cos a cos(–ß) – sin a sin(–ß)
= cos a cos ß + sin a sin ß
cos (a – ß) = cos a cos ß + sin a sin ß
1. Hitunglah cos 75°.
2. Buktikan
cos
cos
tan
..cos..
.. tan ..
.... ....
..1.. .
Jawab:
1. cos 75° = cos (45° + 30°) = cos 45° cos 30° – sin 45° sin 30°
=
1
2
2
1
2
3
1
2
2
.. 1
..
..
..
.... .. ..
..
..
..
..
..
..
.. ....
..
..
..
..
.... .. ..
..
..
..
..
..
..
.. ....
..
..
..
..
.... .. ..
..
..
..
..
..
..
.. ....
2
..
..
..
..
.... .. ..
..
..
..
..
..
..
.. ..
=
1
4
6
1
4
2
1
4
.. .. 2 .. 3..1..
2. cos
cos
cos sin
..cos.. cos
..cos.. ..sin ..
..cos..
.... ....
..
..
..
cos
cos
sin
cos
tan ta
..cos..
..cos..
..sin ..
..cos..
..
..
..1..tan ..
Contoh 3.1
Pembahasan Soal
Diketahui cos(A – B) =
3
5
dan
cos A . cos B =
7
25
. Tentukan
nilai tan A . tan B
Jawab:
cos (A – B) =
cos A cos B + sin A sin B
sin A sin B =
cos (A – B) – cos A cos B
=
3
5
7
25
..
=
15 7
25
8
25
..
..
tan A tan B =
sin sin
cos cos
A B
A B
..
..
=
8
25
7
25
8
7
..
Ebtanas 1998
2. Rumus untuk sin (a ± ß)
Anda tentu masih ingat pelajaran di Kelas X tentang
sudut komplemen. Anda dapat menentukan rumus sin (a......ß)
dengan menggunakan rumus perbandingan trigonometri dua
sudut komplemen berikut.
cos (90° – a) = sin a dan sin (90°– a) = cos a
Dengan menggunakan rumus perbandingan trigonometri
dua sudut komplemen, diperoleh
sin (a + ß) = cos [90° – (a + ß)]
= cos [(90° – a) – ß]
= cos (90° – a) cos ß + sin (90° – a) sin ß
= sin a · cos ß + cos a · sin ß
sehingga sin (a + ß) = sin a cos ß + cos a sin ß
Rumus sin (a – ß) dapat diperoleh dari rumus sin (a + ß),
yaitu
sin (a – ß) = sin (a + (–ß))
= sin a cos (–ß) + cos a sin (–ß)
= sin a · cos ß – cos a · sin ß
Trigonometri 79
Jadi, sin (a – ß) = sin a cos ß – cos a sin ß
Sekarang, coba jelaskan dengan kata-kata Anda sendiri
rumus-rumus yang diberi kotak.
1. Hitunglah sin 15°.
2. Hitunglah sin cos cos
1
4
1
4
1
4
.. .... .. .. ..
..
..
.. ..
.... ..
..
..
..
..
..
.. ..
..
..
..
..
.... .. ..
..
..
..
..
..
..
.. .... ....
..
..
..
..
.... .. ..
..
..
..
...... ..
..
..
..
...... ..
..
..
..
..
..
..
..
.. .. .. ..
..
..
..
.. ..
..
..
.... ..
1
4
.
Jawab:
1. sin 15° = sin (45°–30°) = sin 45° cos 30° – cos 45° sin 30°
=
1
2
2
1
2
3
1
2
2
.. 1
..
..
..
.... .. ..
..
..
..
..
..
..
.. ....
..
..
..
..
.... .. ..
..
..
..
..
..
..
.. ....
..
..
..
..
.... .. ..
..
..
..
..
..
..
.. ....
2
..
..
..
..
.... .. ..
..
..
..
..
..
..
.. ..
=
1
4
6
1
4
2
1
4
.. .. .. 6 2..
2. Soal tersebut bentuknya sama dengan rumus
sin a cos ß + cos a sin ß = sin (a + ß) dengan
.. .. ...... .. ..
..
..
..
.. ..
.... ..
..
..
...... ..
.. ..
..
..
..
.. ..
..
..
..
..
..
..
.. ..
1
4
1
4
. Akibatnya,
sin cos cos
1
4
1
4
1
4
.. .... .. .. ..
..
..
.. ..
.... ..
..
..
..
..
..
.. ..
..
..
..
..
.... .. ..
..
..
..
..
..
..
.. .... ....
..
..
..
..
.... .. ..
..
..
..
...... ..
..
..
..
...... ..
..
..
..
..
..
..
..
.. .. .. ..
..
..
..
.. ..
..
..
.... ..
1
4
= sin cos cos
1
4
1
4
1
4
.. .... .. .. ..
..
..
.. ..
.... ..
..
..
..
..
..
.. ..
..
..
..
..
.... .. ..
..
..
..
..
..
..
.. .... ....
..
..
..
..
.... .. ..
..
..
..
...... ..
..
..
..
...... ..
..
..
..
..
..
..
..
.. .. .. ..
..
..
..
.. ..
..
..
.... ..
1
4
= sin
1
2
.. ..1
Dapatkah Anda mengerjakan dengan cara lain? Silakan coba.
Contoh 3.2
3. Rumus untuk tan (a ± ß)
Anda telah mempelajari bahwa
tan
sin
cos
..
..
..
..
Kemudian, Anda juga telah mempelajari bahwa
cos (a + ß) = cos a cos ß – sin a sin ß
dan
sin (a + ß) = sin a cos ß + cos a sin ß
1. Jelaskan mengapa
rumus tan(t – ß) =
tan
t
.. tan..
1..tan.... tan..
tidak bisa digunakan
untuk menunjukkan
tan ..
.. cot..
2
..
.. ..
..
.... ....
..
..
.. ..
.... .. ..
..
.. .
2. Perhatikan uraian berikut.
tan
tan
tan
t
q p
q tan
q tan
+
Ê
Ë Á Ê
Ë
ˆ
¯ ˜ ˆ
¯
= (p / )
(p /
)
=
2
1- tanq an
tan
tan
tan
tan
tan
q
q q
q
1
0 1
0
1
( / 2)
+
( / 2)
-
=
-
=
-
= -
tan
cot
q
q
Jelaskan alasan setiap
langkah pada uraian
tersebut.
Tantangan
untuk Anda
80 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
Sekarang, pelajari uraian berikut.
tan
sin
cos
sin..cos.. cos..sin .. .... ......
.... ....
.... ....
..
..
cos..cos....sin..sin ..
= sin cos
cos sin
.. cos .. ..sin .. cos cos
.. cos .. ..sin ..
.. ..
..
..
1
....
..
..
1
cos =
sin cos
cos
cos sin
c
..cos.. ..sin..
..cos..
..cos.. ..sin..
..
..
os
sin
cos
cos
cos
c
..cos..
..cos..
..cos..
..sin..
..cos.. ..
..
os
cos
sin
cos
..cos..
..cos..
..sin..
..cos..
..
=
sin
cos
sin
cos
sin
cos
sin
cos
tan t
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
.. ..
..
..
1
an
tan
..
1.... tan ..
Jadi, tan
tan
1 tan
..+ tan..
..
tan..
.... ......
Rumus tan(a – ß) diperoleh dari rumus tan(a + ß),
sebagai berikut:
tan
tan
tan tan
..
..
.... ...... tan...... .. ........
tan.. ....
1....
..
..
..
..........
..
.. tan 1 Jadi, tan =
tan
1 t
.. tan..
..
tan..
.... ....
.. tan1. Jika tan 5° = p, tentukan tan 50°.
2. Dalam segitiga lancip ABC, diketahui sinC ..
2
13
. Jika tan
A tan B = 13 maka tentukan tan A + tan B.
Jawab:
1. tan 50° = tan (45° + 5°) =
tan tan
tan
45 5
1 45 tan 5
o 5o
o 5o
..
=
1
1 1
1
1
..
..
..
..
..
p
p
p
p
Contoh 3.3
Jelaskan makna dari p jika
dikatakan cos ..
2
= 0
dan p = 3,14
Tantangan
untuk Anda
Trigonometri 81
2. Langkah ke-1
Tuliskan apa yang diketahui dan apa yang ditanyakan dari
soal tersebut.
Diketahui: • sinC ..
2
13
• tan A tan B = 13
• .ABC lancip.
Ditanyakan: Nilai (tan A + tan B).
Langkah ke-2
Menentukan konsep yang akan digunakan dalam menjawab
soal. Pada soal ini, konsep yang digunakan adalah konsep
sudut dalam suatu segitiga dan rumus trigonometri untuk
jumlah dua sudut.
Langkah ke-3
Menentukan nilai (tan A + tan B) dengan strategi yang telah
diketahui. Sudut-sudut dalam .ABC berjumlah 180° sehingga
A + B + C = 180°.
A + B + C = 180°
C = 180° – (A + B)
sinC sin..A B....
2
13
Karena .ABC lancip maka (A + B) terletak di kuadran II.
sin (A + B) =
y
r
..
2
13
sehingga y = 2 dan r = 13
x = .. r2 ..y2 .... 13..4 ....3
tan (A + B) =
y
x
..
..
.. ..
2
3
2
3
tan (A + B) =
tan + tan
1 – tan tan
A B
A B
.. ..
..
2
3 1 13
tan A + tan B
tan A + tan B =
2
3
8
.. 12..
..
..
Kuadran II
r
y + A + B
x –
Tes Kompetensi Subbab A
Kerjakanlah pada buku latihan Anda.
1. Jika cos 5° = p, sin 5° = q, dan tan 5° = r,
tentukan nilai dari
a. cos 25° d. sin 95°
b. cos 80° e. tan 55°
c. sin 40° f. tan 10°
2. Tentukan nilai dari
a. cos 80° cos 55° – sin 80° sin 55°
b. cos 350° cos 20° + sin 350° sin 20°
c. sin 250° cos 25° – cos 250° sin 25°
d. tan 85 tan 35
1 tan 85 tan 35
o 35o
o 35o